使用高频极好的纪录计算波动性

(法语), Schwert, and Stambaugh 1987)使用高频极好的纪录计算低频率生产的波动性, 又可领会(安徒生传 et 铝。 2001)(安徒生传 et 铝。 2001)

假说敝对资产的按月的波动感兴趣。, 该资产的每日进项极好的纪录是从事的。, 设\(r_t^m\)这是资产。\(t\)月对数产品, 第\(t\)拢共人家月\(n\)个市日, 每日对数生产均为\(\{ r_{t,i} \}_{i=1}^n\), 则 \[
r_t^m = \sum_{i=1}^n r_{t,i}
\]

构造了每个产品序列的前提方差的在性。, 记

\(F_{t-1}\)

使流产日期

(T-1)

各自的月的新闻,则

\[\begin{align}
\text{Var}(r_t^m | F_{t-1})
= \sum_{i=1}^n \text{Var}(r_{t,i} | F_{t-1})
+ 2 \sum_{i

是你这么说的嘛!表现剩余部分

\(t\)

,

\(i\)

复杂的方差构造。。 若

\(\{r_{t,i}\}\)

缜密的坚定性的白噪声序列。, 则这时

\(r_{t,i}\)

\(F_{t-1}\)

孤独, 有

\(\text{Cov}(r_{t,i}, r_{t,j} | F_{t-1}) = \text{Cov}(r_{t,i}, r_{t,j})=0\)

,

\(\text{Var}(r_{t,i} | F_{t-1}) = \text{Var}(r_{t,i}) = \text{Var}(r_{t,1})\)

, 因而这时

\[\begin{align}
\text{Var}(r_t^m | F_{t-1})
= n \text{Var}(r_{t,1})
\tag{}
\end{align}\]

经过

\(\text{Var}(r_{t,1})\)

它可以从战利品中打量出现。

\[
\hat\sigma^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (r_{t,i} – \bar r_t)^2,
\quad \bar r_t = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n r_{t,i}
\]

进而

\(\text{Var}(r_t^m | F_{t-1})\)

打量是

\[\begin{align}
\hat\sigma_m^2 = \frac{n}{n-1} \sum_{i=1}^n (r_{t,i} – \bar r_t)^2
\tag{}
\end{align}\]

\(\{ r_{t,i} \}\)

遵守缜密的波动的MA(1)塑造, 则

\(r_{t,i}, i=2,\dots,n\)

\(F_{t-1}\)

孤独, 相近有

\[\begin{align}
\text{Var}(r_t^m | F_{t-1})
\approx
n \text{Var}(r_{t,2}) + 2(n-1) \text{Cov}(r_{t,2}, r_{t,3})
\tag{}
\end{align}\]

可打量为

\[\begin{align}
\hat\sigma_m^2
= \frac{n}{n-1} \sum_{i=1}^n (r_{t,i} – \bar r_t)^2
+ 2 \sum_{i=1}^{n-1} (r_{t,i} – \bar r_t) (r_{t,i+1} – \bar r_t)
\tag{}
\end{align}\]

因此用高频极好的纪录打量低频生产波动率的方式简略易懂, 但成绩也不少:

  • 日生产的塑造未知,使得\(\text{Var}(r_{t,i} | F_{t-1})\)\(\text{Cov}(r_{t,i}, r_{t,j} | F_{t-1})\)能够有复杂的构造。。 假说\(\{ r_{t,i} \}\)缜密的坚定性的白噪声或缜密的坚定性的MA能够是不可的。。
  • 即使每日极好的纪录用于打量月极好的纪录的波动性, 人家月大概有21个市日。, 更小的范本体积, 方差和协方差打量的精确的不高。。 打量的精确的剩余部分\(\{ r_{t,i} \}\)静态构造及其散布, 即使\(\{ r_{t,i} \}\)高尚的的峭度和高尚的的序列相干。, 打量()和 \(\text{Var}(r_t^m|F_{t-1})\)它能够是不相容的。, 见白, X., Russell, J. R. Tiao, G. C(2004)未颁发论文。

R应变量用于打量每月波动的日常极好的纪录。也见。 应变量vold2m第人家月的波动性没计算出现。。

用日频极好的纪录打量普尔500月对数生产

规范和POO月对数生产波动性的打量, 工夫为1980年1月至2010年8月。, 日频极好的纪录打量。

思索三种方式暗中的对照。:

  • 运用日常极好的纪录,假说每天的极好的纪录是缜密的坚定性的的白噪声。;
  • 运用日常极好的纪录,假说每日极好的纪录是缜密的波动的MA(1);
  • 运用按月的极好的纪录,Gauss GARCH(1)的使用,1)塑造打量。
da <-read_table2(
  "", col_types=cols(.default=col_double()))
 <-xts(
  da[,-(1:3)], 
  make_date(DA"Year"]], da[["Mon"]], da[["Day"]]))

使用蔡瑞雄教R应变量计算MON的波动性, 假说每日对数生产是缜密的坚定性的白噪声:

MOD1 <-vold2m(DA,c("Mon", "Day", "Year", "Adjclose")])
v1 <-ts(MOD1$volatility, start=c(1980,2), frequency=12)

归结为包孕volatilityndays的列表。

使用蔡瑞雄教R应变量计算MON的波动性, 假说日对数产品是缜密的波动的MA(1)SR。:

MOD2 <-vold2m(DA,c("Mon", "Day", "Year", "Adjclose")], ma=1)
v2 <-ts(MOD2$volatility, start=c(1980,2), frequency=12)

读书规范普尔500索引按月的OHLC极好的纪录,从1967年1月到2010年9月:

DA2 <-read_table2(
  "", col_types=cols(.default=col_double()))
xts.sp5m <-xts(
  da[,-(1:3)], 
  make_date(DA"Year"]], da[["Mon"]], da[["Day"]]))
sp5 <-diff(log(DA2[["Adjclose"]]))

构造月极好的纪录的GARCH塑造:

## 需求扶助的程继宝:timeDate
## 需求扶助的程继宝:timeSeries
## 
## 使担负程辑包:工夫序列
## The following object is masked from 包装:守车
## 
##     time<-
## 需求扶助的程继宝:fBasics
## 
## 使担负程辑包:''fBasics''
## The following object is masked from 包装:TTR
## 
##     volatility
MOD3 <-garchFit( ~1+garch(1,1), data=sp5, trace=FALSE)
summary(MOD3)
## 
## Title:
##  GARCH Modelling 
## 
## Call:
##  garchFit(formula = ~1 + GARCH(1), 1), data = sp5, trace = 假) 
## 
## Mean and Variance Equation:
##  data ~ 1 + GARCH(1), 1)
## 
##  [极好的纪录] = sp5]
## 
## Conditional Distribution:
##  norm 
## 
## 系数(s)
##         mu       omega      α1       β1  
## 5.3471e-03  9.3263e-05  422e-01  864e-01  
## 
## 使用某物为燃料 Errors:
##  based on Hessian 
## 
## Error Analysis:
##         Estimate  使用某物为燃料 Error  t value PR(>t)    
## mu     5.347e-03   1.742e-03    3.069 0.002149 ** 
## omega  9.326e-05   4.859e-05    1.919 4942 .  
## α1 42e-01   3.003e-02    3.804 0.000142 ***
## β1  86e-01   3.186e-02   26.634  < 2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 ''***''  ''**''  ''*''  ''.''  '' '' 1
## 
## Log Likelihood:
##  899.7817    normalized:  1.717141 
## 
## Description:
##  Sat May 05 17:18:24 2018 by user: user 
## 
## 
## Standardised Residuals Tests:
##                                 Statistic p-Value     
##  Jarque-Bera Test   R    Chi^2  172.5211  0           
##  Shapiro-Wilk Test  R    W      0.9690782 4.639274e-09
##  Ljung-Box Test     R    Q(10)  17329  441774   
##  Ljung-Box Test     R    Q(15)  15.451    0.4194449   
##  Ljung-Box Test     R    Q(20)  17.56469  0.61606     
##  Ljung-Box Test     R^2  Q(10)  5.466795  0.8578981   
##  Ljung-Box Test     R^2  Q(15)  7.031543  0.9567685   
##  Ljung-Box Test     R^2  Q(20)  8.200425  0.9904566   
##  LM Arch Test       R    TR^2   5.62988   0.9335791   
## 
## Information Criterion Statistics:
##       AIC       BIC       SIC      HQIC 
## -3.419014 -3.386484 -3.419129 -3.406275
v3 <-window(ts(volatility(MOD3), start=c(1967, 2), frequency=12),
             start=c(1980,2), end=c(2010,8))

从GARCH适宜的归结为可以看出,高斯散布。 适宜的塑造是 \[\begin{aligned}
r_t^m =& 0.0053 + a_t,
\quad a_t = \sigma_t \varepsilon_t,
\quad \varepsilon_t \sim \text{N}(0,1) \\
\sigma_t^2 =& 0.00009326 + 142 a_{t-1}^2 + \sigma_{t-1}^2
\end{aligned}\]

三种方式的波动率打量如次。:

plot(V1), xlab="Year", ylab="Volatility", main="Using Daily Price WN Assumption",
     ylim=c(0, ))
普尔500月波动率用假说白噪声日频极好的纪录打量

图: 普尔500月波动率用假说白噪声日频极好的纪录打量

plot(v2, xlab="Year", ylab="Volatility", main="Using Daily Price 麻省理工学院(1) Assumption",
     ylim=c(0, ))
普尔500月波动率用假说麻省理工学院(1)日频极好的纪录打量

图: 普尔500月波动率用假说麻省理工学院(1)日频极好的纪录打量

plot(v3, xlab="Year", ylab="Volatility", main="Using Monthly Price GARCH(1),1)",
     ylim=c(0, ))
用GARCH塑造打量普尔500个月波动性

图: 用GARCH塑造打量普尔500个月波动性

由此可见,日频极好的纪录的波动性更大。。 打量的三个波动序列是在恒等的座标系中绘制的。:

plot(c(time(V1))), c(V1)), type="l", xlab="Year", 
     ylab="Volatility", 
     main="Comparing 3 volatility series",
     ylim=c(0, ),
     col="blue")
lines(c(time(V1))), c(v2), col="cyan")
lines(c(time(V1))), c(v3), col="black")
legend("top", lty=1, col=c("blue", "cyan", "black"),
       legend=c(日频白噪声假说, "日频麻省理工学院(1)假说", "月频GARCH(1),1)))
普尔500用三种方式打量的月波动率

图: 普尔500用三种方式打量的月波动率

从图看,日频极好的纪录归结为仅在很高的时辰比月频归结为高很多, 一般情况下打量归结为体积相近; 打量的走势根本划一。

对照三种方式存在的月波动率散布密度:

den1 <-density(c(V1)), from=, to=0.29)
den2 <-density(c(v2), from=, to=0.29)
den3 <-density(c(v3), from=, to=0.29)
plot(den1, xlab="Volatility", ylab="Density",
     main="Comparing 3 volatility densities",
     ylim=c(0, 40), 
     col="blue")
lines(DEN2), col="cyan")
lines(den3, col="black")
legend(TopTrand, lty=1, col=c("blue", "cyan", "black"),
       legend=c(日频白噪声假说, "日频麻省理工学院(1)假说", "月频GARCH(1),1)))
三种方式打量的月波动散布密度

图: 三种方式打量的月波动散布密度

从图中可以看出日频率的波动率。, 按月的频率打量归结为更为集合。。 而且稍微极值。, 在数值搜索上不等罕有地。。

运用OHLC极好的纪录

数量庞大的数量庞大的资产都有OHLC极好的纪录。, 因此的极好的纪录可以用来扶助打量波动性。。

(3)
 <-exp(cumsum(c(3, rnorm(200, mean=0, sd=))))
xg <-seq(0, 1, length=length())
plot(xg, , type="l",
     xlim=c(-, ), ylim=c(0, 50),
     xlab="Time", ylab="Price", axes=FALSE)
box()
axis(2)
axis(1, at=c(0, , 1), labels=c(expression(0), expression(f), expression(1)))
abline(v=c(0, , 1))
text(0, exp(3), expression(C[t-1]), adj=)
text(2, [101] -1, expression(O[t]))
sele <-xg >=text(xg[sele][([sele])], min([sele]) -2, expression(L[t]))
text(xg[sele][([sele])], max([sele]) +2, expression(H[t]))
text(1, [201], expression(C[t]), adj=-0.2)

作为资产,限界拥护者变量:

  • \(O_t\): 第\(t\)市日以开盘价
  • \(H_t\): 第\(t\)市日的极好的价钱
  • \(L_t\): 第\(t\)市日的最低消费价钱
  • \(C_t\): 第\(t\)每逢市日金钱或财产的转让
  • \(f\):典型天数与封交易情况的大量之比。,是人家\([0,1]\)数暗中
  • \(F_{t-1}\): 使流产日期是(T-1)市日的持有下新闻, 但在算学上,持有可测量土地的变量都必须染指建模。(T-1)市日变量\(\sigma\)代数

当价钱为对数价钱时, 每日对数生产是前提方差或波动率。 \(\sigma_t^2 = E[ (C_t - C_{t-1})^2 | F_{t-1}]\)

(Garman and Klass 1980)思索了\(\sigma_t^2\)倍数打量, 论文假说价钱遵守人家不带漂移的四散的褶皱, 比得上的打量值为 \[\begin{aligned}
\hat\sigma_{0t}^2 =& (C_t - C_{t-1})^2 \\
\hat\sigma_{1t}^2 =& \frac{(O_t - C_{t-1})^2}{2f}
+ \frac{(C_t - O_{t})^2}{2(1-f)} \\
\hat\sigma_{2t}^2 =& \frac{(H_t - L_t)^2}{4\ln 2}
\approx 607 (H_t - L_t)^2 \\
\hat\sigma_{3t}^2 =& 7 \frac{(O_t - C_{t-1})^2}{f}
+ \frac{(H_t - L_t)^2}{(1-f)4\ln 2} \\
\hat\sigma_{5t}^2 =& (H_t - L_t)^2 - (2 \ln 2 - 1) (C_t - O_t)^2
\approx (H_t - L_t)^2 - 86 (C_t - O_t)^2 \\
\hat\sigma_{5t}^2 =& 5 \frac{(O_t - C_{t-1})^2}{f}
+ \frac{\hat\sigma_{5t}^2}{1-f}
\end{aligned}\]
经过用到\(f\)的都需求\(0。 本文还思索了更复杂的成绩。\(\hat\sigma_{4t}^2\)表现, 但与\(\hat\sigma_{5t}^2\)着手处理。 \(\hat\sigma_{2t}^2\)打量方式是(帕金森 1980)计划的。

限界了波动率打量的赢利性决定因素。 \[\begin{aligned}
\text{Eff}(\hat\sigma_{it}^2)
= \frac{\text{Var}(\hat\sigma_{0t}^2)}{\text{Var}(\hat\sigma_{it}^2)}
\end{aligned}\]
(Garman and Klass 1980)显示证据在四周价钱遵守简略四散的塑造的加盖于, \(i=1,2,3,5,6\)\(\text{Eff}(\hat\sigma_{it}^2)\)辨别为 2, 5.2, 6.2, 7.4和, 即\(\hat\sigma_{6t}^2\)打量赢利性极好的。。

回到对数产品。限界

  • \(o_t = \ln O_t - \ln C_{t-1}\)规范化以开盘价;
  • \(u_t = \ln H_t - \ln O_t\)规范化的极好的价钱;
  • \(d_t = \ln L_t - \ln O_t\)规范化最低消费价钱;
  • \(c_t = \ln C_t - \ln O_t\)规范化金钱或财产的转让。

包括

\(n\)

天极好的纪录,波动率在这一时间雇用坚定性。,

(杨 and Zhang 2000)

计划了波动率的鲁棒打量。

\[\begin{align}
\hat\sigma_{yz}^2 = \hat\sigma_o^2 + k \hat\sigma_c^2 + (1-k) \hat\sigma_{rs}^2
\tag{}
\end{align}\]

经过 \[\begin{aligned}
\hat\sigma_o^2 =& \frac{1}{n-1} \sum_{t=1}^n (o_t - \bar o)^2 \\
\hat\sigma_c^2 =& \frac{1}{n-1} \sum_{t=1}^n (c_t - \bar c)^2 \\
\hat\sigma_{rs}^2 =& \frac{1}{n} \sum_{t=1}^n \left\{
u_t (u_t - c_t) + d_t (d_t - c_t) \right\} \\
k =& \frac{4}{1.34 + (n+1)/(n-1)}
\end{aligned}\]
打量\(\hat\sigma_{rs}^2\)罗杰斯和萨切尔的提议(1991), 选择\(k\)使得\(\hat\sigma_{yz}^2\)的规范误差最小, \(\hat\sigma_{yz}^2\)是三种打量的直线性结成。

(Alizadeh, Brandt, and Diebold 2002)计划了用第\(t\)天的零钱搜索\(H_t - L_t\)打量波动率的方式。 然而实践中份的价钱仅在有市的合拍被说到, 因而实践的\(H_t\)\(L_t\)能够是未被说到的, 说的价钱零钱搜索能够低估了实践零钱搜索, 原来如此低估波动率。 在四周市频繁的份, 这种经纱可以疏忽; 市不敷频繁的份则需求思索这种经纱的碰撞。

用OHLC极好的纪录打量普尔500日对数生产的波动率

普尔500索引的OHLC极好的纪录,从1980-01-03到2010-08-31, 共7737个市日的极好的纪录。 打量日对数生产波动率。

chartSeries(
  , subset="2010-06/2010-08", 
  type="bars", theme="white", TA=NULL,
  main="SP500 Daily Price",
  "months", 
  "months")
普尔500索引序列日极好的纪录在2010年6-8月

图: 普尔500索引序列日极好的纪录在2010年6-8月

图为普尔索引日极好的纪录在到8月的OHLC图形。 竖线条表现搜索, 左空白的存根表现以开盘价, 左边的存根表现金钱或财产的转让。

运用三种方式打量波动率:

  • 使用()方式, 取滑动窗口,窗口体积\(n=63\),约学期;
  • 使用()方式但取\(n=32\), 与上一方式对照以检查窗宽选择对打量的碰撞体积;
  • 为日对数生产序列构造ARMA-GARCH塑造打量波动率。

(杨 and Zhang 2000)式()打量的R应变量, 使用滑动窗口计算, 计算存在的波动率的合拍与窗口最左边指示:

## 输出x为xts典型的工夫序列,bw为滑动窗口宽度
volatility.ohlc.yz <-function(x, bw=63){
  times <-index(x)
  nobs <-length(重大事件)
  stdop <-log(Op(x)) -log(lag(Cl(x)[,1]))
  stdhi <-log(Hi(x)) -log(Op(x))
  stdlo <-log(Lo(x)) -log(Op(x))
  stdcl <-log(Cl(x)[,1]) -log(lag(Cl(x))[,1])
  k <-4/(1.34+(bw+1)/(bw-1))
  
  vo <-numeric(nobs); vo[1:bw] <-NA
  vc <-vo
  vrs <-vo
  vyz <-vo
  
  ## 滑动计算
  for(it in (bw+1):nobs){
    ind <-(it-bw+1):it
    vo[it] <-var(stdop[ind], na.rm=TRUE)
    vc[it] <-var(stdcl[ind], na.rm=TRUE)
    VRS[ IT ] <-1/bw*sum(stdhi[ind]*(stdhi[ind] -stdcl[ind]) +stdlo[ind]*(stdlo[ind] -stdcl[ind]))
  }
  vyz <-vo +k*vc +(1-k)*vrs
  
  xts(cbind(Volatility=c(sqrt(vyz))), 重大事件)
}

使用()方式, 取滑动窗口,窗口体积\(n=63\),打量波动率:

mod4 <-volatility.ohlc.yz(, bw=63)

打量波动连续:

plot(mod4, type="l", col="red",
     ylim=c(0, ),
     main="Yang-Zhang(BW=63)", 
     "years", minor.ticks=NULL, 
     "years")
63日滑动计算的波动性

图21.7: 63日滑动计算的波动性

使用()方式, 取滑动窗口,窗口体积\(n=32\),打量波动率:

mod5 <-volatility.ohlc.yz(, bw=32)

打量波动连续:

plot(mod5, type="l", col="red",
     ylim=c(0, ),
     main="Yang-Zhang(BW=32)", 
     "years", minor.ticks=NULL, 
     "years")
32日滑动计算的波动性

图21.8: 32日滑动计算的波动性

上面是ARMA-GARCH塑造适宜的每日C的对数产品,并打量波动率。。

library(fGarch)
mod6 <-garchFit(
  ~1+arma(4,0) +garch(1,1), 
  data=diff(log(coredata()[,"Close",drop=TRUE])),
  trace=FALSE)
summary(mod6)
## 
## Title:
##  GARCH Modelling 
## 
## Call:
##  garchFit(formula = ~1 + ARMA(4), 0) + GARCH(1), 1), data = 日记(CordDATA), 
##     "Close", drop = 真的, trace = 假) 
## 
## Mean and Variance Equation:
##  data ~ 1 + ARMA(4), 0) + GARCH(1), 1)
## 
##  [极好的纪录] = 日记(CordDATA), "Close", drop = 真的]
## 
## Conditional Distribution:
##  norm 
## 
## 系数(s)
##          mu          ar1          ar2          ar3          ar4  
##  5.5450e-04   1.4467e-02  -101e-02  -2.2045e-02  -3.3974e-02  
##       omega       α1        β1  
##  1e-06   7.5577e-02   9.1579e-01  
## 
## 使用某物为燃料 Errors:
##  based on Hessian 
## 
## Error Analysis:
##          Estimate  使用某物为燃料 Error  t value PR(>t)    
## mu      5.545e-04   9.545e-05    5.810 6.26e-09 ***
## ar1     1.447e-02   1.218e-02    87  0.23510    
## ar2    -10e-02   1.204e-02   -0.922  5655    
## ar3    -2.205e-02   1.200e-02   -1.836  0.06629 .  
## ar4    -3.397e-02   1.200e-02   -2.830  0.00465 ** 
## omega   e-06   2.036e-07    6.131 8.74e-10 ***
## α1  7.558e-02   5.628e-03   13.428  < 2e-16 ***
## β1   9.158e-01   6.294e-03  145.511  < 2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 ''***''  ''**''  ''*''  ''.''  '' '' 1
## 
## Log Likelihood:
##  25058.57    normalized:  3.239216 
## 
## Description:
##  Sat May 05 19:11:51 2018 by user: user 
## 
## 
## Standardised Residuals Tests:
##                                 Statistic p-Value  
##  Jarque-Bera Test   R    Chi^2  7046.432  0        
##  Shapiro-Wilk Test  R    W      NA        NA       
##  Ljung-Box Test     R    Q(10)  8.763907  546468
##  Ljung-Box Test     R    Q(15)  22417  598465
##  Ljung-Box Test     R    Q(20)  23.14705  0.2816321
##  Ljung-Box Test     R^2  Q(10)  3.647533  0.96185  
##  Ljung-Box Test     R^2  Q(15)  5.38237   0.988364 
##  Ljung-Box Test     R^2  Q(20)  8.517023  0.9878564
##  LM Arch Test       R    TR^2   4.441796  0.9740825
## 
## Information Criterion Statistics:
##       AIC       BIC       SIC      HQIC 
## -6.476364 -6.469173 -6.476366 -6.473898

打量塑造是 \[\begin{aligned}
r_t =& 0.00055 + 45 r_{t-1} - 11 r_{t-2}
- 0.0221 r_{t-3} - 0.0340 r_{t-4} + a_t, \\
a_t =& \sigma_t \varepsilon_t,
\quad \varepsilon_t \sim \text{N}(0,1) \\
\sigma_t^2 =& \times 10^{-6} + 56 a_{t-1}^2 + \sigma_{t-1}^2
\end{aligned}\]
而且高斯散布假说,该塑造是十足的。。 打量波动连续图:

plot(
  xts(volatility(mod6), index()[-1]),
  type="l", col="red",
  ylim=c(0, ),
  main=ARMA-GARCH Volatility Estimate of BP500", 
  "years", minor.ticks=NULL, 
  "years"
)
ARMA-GARCH存在的SP500日波动率"

图21.9: ARMA-GARCH存在的SP500日波动率

在相同的CONDIN中对照了三种方式所获得的波动性。:

plot(index([-1]), c(coredata(mod4))[-1], 
     type="l", xlab="Year", 
     ylab="Volatility", 
     main="Comparing 3 volatility series",
     ylim=c(0, ),
     col="blue")
lines(index([-1]), c(coredata(mod5))[-1], 
      col="cyan")
lines(index([-1]), c(volatility(mod6)), 
      col="black")
legend("top", lty=1, col=c("blue", "cyan", "black"),
       legend=c("Yang-Zhang BW=63", "Yang-Zhang BW=32", ARMA-GARCH"))
普尔500用三种方式打量的日波动率

图0 普尔500用三种方式打量的日波动率

如图0所示, 三种方式打量的波动率着手处理非极值, ARMA-GARCH打量的极值较大。, 张杨法窗宽63和32归结为根本无分叉。。

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